MySQLを使ってBASIC認証を行うにはmod_auth_mysqlを使う。

公式サイト

mod_auth_mysql
http://modauthmysql.sourceforge.net/

参考サイト

Apacheの基本認証をDBを使って行うmod_auth_mysql – プログラマになりたい
http://blog.takuros.net/entry/20101030/1288443379

Apache 2.2.x でベーシック認証(2) ～ MySQL を利用する～ | UB Lab.
http://www.united-bears.co.jp/blog/archives/2435

認証、承認、アクセス制御 – Apache HTTP サーバ バージョン 2.4
http://httpd.apache.org/docs/2.4/ja/howto/auth.html